Matematyka
xExpert
2017-06-25 19:41:57
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: [latex]f(x,y) = (3x+y^{2})e^{2x} [/latex]      [latex]x,y ∈ R[/latex]
Odpowiedź
wlusek
2017-06-25 21:29:09

[latex]f(x,y)=(3x+y^2)e^{2x}[/latex] [latex]cfrac{partial f}{partial x}(x,y)=3e^{2x}+2(3x+y^2)e^{2x}=(3+6x+2y^2)e^{2x}[/latex] [latex]cfrac{partial f}{partial y}(x,y)=2ye^{2x}[/latex] Punkty stacjonarne: [latex]egin{cases}3+6x+2y^2=0\2y=0end{cases}[/latex] [latex]y=0Rightarrow 3+6x=0Rightarrowx=-0,5[/latex] [latex]P=left(-cfrac{1}{2},0 ight)[/latex] [latex]cfrac{partial^2f}{partial x^2}(x,y)=6e^{2x}+2(3+6x+2y^2)e^{2x}=(12+12x+4y^2)e^{2x}[/latex] [latex]cfrac{partial^2f}{partial{x}partial y}(x,y)=4ye^{2x}=cfrac{partial^2f}{partial ypartial x}(x,y)[/latex] [latex]cfrac{partial^2f}{partial y^2}(x,y)=2e^{2x}[/latex] [latex]W(P)=cfrac{partial^2f}{partial x^2}(P)cdotcfrac{partial^2f}{partial y^2}(P)-left(cfrac{partial^2f}{partial xpartial y}(P) ight)^2=cfrac{6}{e}cdotcfrac{2}{e}-0=cfrac{12}{e^2}>0[/latex] Ta funkcja osiąga ekstremum w punkcie P. Z faktu, że  [latex]cfrac{partial^2f}{partial x^2}(P)>0[/latex] wynika, że jest to minimum. Minimum to wynosi [latex]-1,5e^{-1}[/latex].

Dodaj swoją odpowiedź