Matematyka
Iffonka12
2017-06-25 14:41:17
Dany jest trójkąt ABC, w którym A = (0,0), B = (2t,0), C = (0,2). Punkt M jest punktem przecięcia się wysokości poprowadzonej z wierzchołka A i środkowej poprowadzonej z wierzchołka C. Znajdź równanie miejsca geometrycznego punktów M, gdzie [latex]t in mathbb{R}_{+}[/latex].
Odpowiedź
natusss14
2017-06-25 14:54:52

To nie powinno być bardzo skomplikowane kwesta elegancji i spryty którego mi brakuje. Więc rozwiązanie będzie siłowe.  Plan rozwiązania 1. Znaleźć równanie równanie środkowej  1.1 wyznaczyć środek AB  1.2 poprowadzić prostą przez środek AB i Punkt C  2. Wyznaczyć prostą zawierającą wysokość  2.1 wyznaczyć prostą przez B i C 2.2 Wyznaczyć prostą prostopadłą do BC przez A  3. Układ równań tych prostych Środek AB to [latex](t,0)[/latex] Prosta przez C i punkt środka to  [latex]$ frac{y-2}{x-0} = frac{0-2}{t-0} $[/latex] czyli [latex]$y=- frac{2}{t}x +2$[/latex] Teraz prosta przez A i B  [latex]$ frac{y-2}{x-0}= frac{0-2}{2t-0} $[/latex] Czyli [latex]$y=- frac{1}{t} x+2$[/latex]  Prosta prostopadła do niej przechodząca przez punkt A to [latex]y=tx[/latex]  Więc punkt M to  [latex]$ left { {{y=tx} atop {y=- frac{2}{t}x +2}} ight. $[/latex] Stąd już widać że  [latex]$M=left( frac{2t}{t^2+2}, frac{2t^2}{t^2+2} ight) $[/latex] Czyli parametryczne równanie wygląda tak  [latex]$x= frac{2t}{t^2+2} $[/latex] [latex]$y= frac{2t^2}{t^2+2} [/latex] Żeby wyrugować [latex]t[/latex] można zauważać że [latex]y=tx[/latex] to  [latex]$t= frac{y}{x} $[/latex] Więc podstawiając dostajemy funkcje uwikłaną  [latex]$y= frac{2 frac{y^2}{x^2} }{frac{y^2}{x^2}+2} = frac{2y^2}{y^2+2x^2} $[/latex] [latex]$2x^2+y^2-2y=0$[/latex] No to elipsa ale nie cała dla t>0 możemy znajdować się jedynie w 1 ćwiartce więc to będzie ta połówka z 1 ćwiartki. 

Dodaj swoją odpowiedź