Matematyka
madzia19933
2017-06-25 09:54:17
Fajna granica : [latex]$lim_{n ightarrow infty}sqrt[n]{left(egin{array}{c}nk\ nend{array} ight)}$[/latex]
Odpowiedź
trwa
2017-06-25 10:40:43

Najpierw zajmijmy się wyrażeniem pod pierwiastkiem. Mamy: [latex]inom{nk}{n}=dfrac{(nk)!}{n!(nk-n)!}[/latex] Wartość tę najłatwiej będzie chyba policzyć używając wzoru Stirlinga: [latex]n!approxleft(dfrac{n}{e} ight)^nsqrt{2pi n}[/latex] przybliżającego n!. Przechodząc z n do granicy w nieskończoności nie stracimy na dokładności obliczeń, ponieważ: [latex]limlimits_{n oinfty}dfrac{n!}{left(dfrac{n}{e} ight)^nsqrt{2pi n}}=1[/latex] Obliczmy więc: [latex]inom{nk}{n}=dfrac{(nk)!}{n!(nk-n)!}approxdfrac{left(dfrac{nk}{e} ight)^{nk}sqrt{2pi nk}}{left(dfrac{n}{e} ight)^nsqrt{2pi n}cdotleft(dfrac{nk-n}{e} ight)^{nk-n}sqrt{2pi (nk-n)}}=\\\= dfrac{sqrt{2pi}cdot(nk)^{nk+frac{1}{2}}cdot e^{-nk}}{n^ne^{-n}cdotsqrt{2pi n}cdotleft(dfrac{n(k-1)}{e} ight)^{nk-n}sqrt{2pi n(k-1)}}=\\\ [/latex] [latex]=dfrac{sqrt{2pi}cdot(nk)^{nk+frac{1}{2}}cdot e^{-nk}}{2pi ncdot n^ne^{-n}cdot n^{nk-n}cdot(k-1)^{nk-n}cdot e^{-nk+n}cdot(k-1)^{frac{1}{2}}}=\\\= dfrac{sqrt{2pi}cdot(nk)^{nk+frac{1}{2}}cdot e^{-nk}}{2pi cdot n^{nk-n+n+1}cdot(k-1)^{nk-n+frac{1}{2}}cdot e^{-nk+n-n}}}=\\\= dfrac{1}{sqrt{2pi}}cdot n^{nk+frac{1}{2}-nk-1}cdot k^{nk+frac{1}{2}}cdot(k-1)^{-nk+n-frac{1}{2}}}}=\\\ [/latex] [latex]=dfrac{1}{sqrt{2pi n}}cdot k^{nk+frac{1}{2}}cdot(k-1)^{-nk+n-frac{1}{2}}}}=\\\=dfrac{1}{sqrt{2pi n}}cdotsqrt{dfrac{k}{k-1}}cdotleft(dfrac{k^{k}}{(k-1)^{(k-1)} ight)^n}[/latex] Dodając pierwiastek dostaniemy, że: [latex]sqrt[n]{inom{nk}{n}}approxsqrt[n]{dfrac{1}{sqrt{2pi n}}cdotsqrt{dfrac{k}{k-1}}cdotleft(dfrac{k^{k}}{(k-1)^{(k-1)} ight)^n}}=\\\= dfrac{k^{k}}{(k-1)^{(k-1)}}cdotsqrt[2n]{dfrac{k}{k-1}}cdotdfrac{1}{sqrt[2n]{2pi n}}[/latex] Przechodząc z n do nieskończoności od razu widzimy, że drugi i trzeci czynnik to znane granice równe 1. Stąd: [latex]limlimits_{n oinfty}sqrt[n]{inom{nk}{n}}=dfrac{k^{k}}{(k-1)^{(k-1)}}cdotlimlimits_{n oinfty}left(sqrt[2n]{dfrac{k}{k-1}}cdotdfrac{1}{sqrt[2n]{2pi n}} ight)=\\\=oxed{dfrac{k^{k}}{(k-1)^{(k-1)}}}[/latex] W zadaniu nie ma dokładnie określonych wartości k, ale zakładam, że nie wchodzimy w uogólniony symbol Newtona i k jest liczbą naturalną. Jeśli tak, to powyższe rozwiązanie działa dla wszystkich k z wyjątkiem k = 1. Dla tego szczególnego przypadku będziemy mieli:  [latex]limlimits_{n oinfty}sqrt[n]{inom{n}{n}}=limlimits_{n oinfty}sqrt[n]{1}=1[/latex] Na marginesie jeśli nieformalnie przyjąć, że [latex]0^0=1[/latex], to wcześniejszy wzór działa i w tym przypadku, ale to już oddzielne rozważania nad wyrażeniami nieoznaczonymi.

Dodaj swoją odpowiedź