Matematyka
blackpeople
2017-06-25 06:49:47
Znaleźć cztery liczby, z których trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny. Suma krańcowych liczb równa się większemu rozwiązaniu równania [latex]log(x+6)- frac{1}{2}log(2x-3)=2-log25 [/latex], a potrojona pierwsza liczba równa się mniejszemu rozwiązaniu tego równania, zaś trzy ostatnie liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź
josphine22
2017-06-25 08:57:07

Najpierw rozwiążmy równanie, tego i tak nie unikniemy: Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny: x+6 > 0 x>-6 2x-3>0 x>³/₂ czyli: [latex]D_x = (frac{3}{2}; +infty)[/latex] [latex]log(x+6) - frac{1}{2}log(2x-3) = 2 - log25[/latex] [latex]log(x+6) - log(sqrt{2x-3}) = log100 - log25[/latex] [latex]log(frac{x+6}{sqrt{2x-3}}) = log(frac{100}{25})[/latex] [latex] frac{x+6}{sqrt{2x-3}} = 4[/latex] [latex]x+6 = 4sqrt{2x-3}[/latex] [latex](x+6)^{2} = (4sqrt{2x-3})^2[/latex] [latex]x^2 + 12x + 36 = 32x-48[/latex] [latex]x^2 - 20x + 84[/latex] [latex]Delta_x = 400 - 336 = 64 = 8^2[/latex] [latex]sqrt{Delta_x} = 8[/latex] [latex]x_1 = frac{20-8}{2} = 6[/latex] [latex]x_2 = frac{20+8}{2} = 14[/latex] Dobrze, teraz zajmijmy się poleceniem, oznaczmy te liczby przez: a,b,c,d  w takiej kolejnosci, od pierwszej do czwartej. Trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, mamy: [latex]b^2 = ac (1)[/latex] Suma krańcowych liczb, równa się wiekszemu rozwiazaniu równania, czyli 14: [latex]a+d = 14 (2)[/latex] Potrojona pierwsza liczba równa się mniejszemu rozwiazaniu, czyli 6: [latex]3a = 6 iff a = 2 (3)[/latex] W tym miejscu od razu wyliczymy d, mamy z (2): [latex]a+d=14 iff d = 12 ( 4)[/latex] Przedstawmy b w zaleznosci od c, z (1) mamy: [latex]b^2 = ac iff b^2=2c (5)[/latex] Na koniec ostatni warunek, trzy ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny: [latex]2c = b+d (6)[/latex] Przyrównując (5) i (6), mamy: [latex]b^2 = b+12[/latex] [latex]b^2 - b - 12 = 0[/latex] [latex](b-4)(b+3) = 0[/latex] [latex]b=4 vee b=-3[/latex] Zatem c: [latex]2c = b+d [/latex] [latex]c = 8 dla b=4 vee c=frac{9}{2} dla b=-3[/latex] Mamy następujące czwórki: [latex](a,b,c,d) = (2,4,8,12) vee (a,b,c,d) = (2,-3,frac{9}{2},12)[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź