Matematyka
pogromcas
2017-06-24 22:44:37
Proszę o rozwiązanie poniźszych zadań. 1) Liczby a, b, c, d są liczbami naturalnymi takimi, że liczby a+b, a+b+c, a+b+c+d są podzielne przez 6. Które spośród liczb a, b, c, d muszą być podzielne przez 6, a które nie muszą ? 2) Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie postaci: a+ab+2ac=7. 3) Wykaż, że iloczyn wszystkich liczb naturalnych a dla których liczba 2(a + 4) jest podzielna przez a +1 jest o 2 większy od ich sumy. Przy wykonywaniu zadań proszę przyjąć , że N={1,2,3.....} Z góry dziękuję .
Odpowiedź
sokulskir
2017-06-25 04:18:41

1. Żeby suma [latex]a+b[/latex] była podzielna przez 6, to może być np. a=2, b=4, a więc a i b nie muszą być liczbami podzielnymi przez 6. Skoro [latex]a+b[/latex] jest podzielne przez 6 i [latex]a+b+c[/latex] jest podzielne przez 6 to znaczy, że c musi być podzielne przez 6. Podobnie z [latex]a+b+c+d[/latex]. Jeżeli [latex]a+b+c[/latex] jest podzielne przez 6 i [latex]a+b+c+d[/latex] jest podzielne przez 6, to d musi być podzielne przez 6. 2. [latex]a+ab+2ac=7\ a(1+b+2c)=7\ [/latex] Skoro liczby [latex]a,b,c[/latex] są liczbami naturalnymi to są dwie możliwości:[latex]a=1 wedge 1+b+2c=7[/latex] lub [latex]a=7 wedge 1+b+2c=1[/latex] I. [latex]a=1 wedge 1+b+2c=7\ b+2c=6\ b=6-2c\ [/latex] c może być równe 1 (wtedy b=4) lub 2 (wtedy b=2) Rozwiązaniami mogą zatem być: [latex]a=1,b=4,c=1[/latex] lub [latex]a=1,b=2,c=2[/latex] II.  [latex]a=7 wedge 1+b+2c=1[/latex] [latex]1+b+2c=1\ b+2c=0[/latex] To równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych, a więc drugi przypadek nie ma w tymże zbiorze rozwiązań. Czyli rozwiązaniami w zbiorze liczb naturalnych jest [latex]a=1,b=4,c=1[/latex] lub [latex]a=1,b=2,c=2[/latex] 3. [latex]dfrac{2(a+4)}{a+1}=k,kinmathbb{Z}\ 2(a+4)=k(a+1)\ 2a+8=ak+k\ 2a-ak=k-8\ a(2-k)=k-8\ a=dfrac{k-8}{2-k}=-dfrac{k-8}{k-2}=-dfrac{k-2-6}{k-2}=-left(dfrac{k-2}{k-2}-dfrac{6}{k-2}} ight)=\ =-1+dfrac{6}{k-2}[/latex] a ma być liczbą naturalną zatem [latex]k-2[/latex] musi być dzielnikiem szóstki i [latex]-1+dfrac{6}{k-2}geq1[/latex] Dzielniki 6: -1,1,-2,2,-3,3,-6,6 [latex]k-2={-1,1,-2,2,-3,3,-6,6}\ k={1,3,0,4,-1,5,-4,8}[/latex] [latex]-1+dfrac{6}{k-2}geq1\ dfrac{6}{k-2}geq2\ 6(k-2)geq2(k-2)^2\ 6k- 12geq2(k^2-4k+4)\ 6k-12geq2k^2-8k+8\ 2k^2-14k+20leq0\ k^2-7k+10leq0\ k^2-2k-5k+10leq0\ k(k-2)-5(k-2)leq0\ (k-5)(k-2)leq0\ kinlangle2,5 angle\\ kinlangle2,5 angle wedge kinmathbb{Z} wedge k={1,3,0,4,-1,5,-4,8}\ k={3,4,5}[/latex] [latex]1. k=3\ a=-1+dfrac{6}{3-2}=5\\ 2. k=3\ a=-1+dfrac{6}{4-2}=2\\ 3. k=5\ a=-1+dfrac{6}{5-2}=1\\ [/latex] Wychodzi, że istnieją tylko 3 liczby a spełniające podany w treści warunek: 1,2 i 5. [latex]1cdot2cdot5=10\ 1+2+5=8\10-8=2[/latex] I jak widać, rzeczywiście ich iloczyn jest o 2 większy od ich sumy.

aga58585858
2017-06-25 04:19:56

[latex] extbf{Zadanie,1}\ a,b,c,d in {1,2,ldots}\ 6vert (a+b) wedge6vert (a+b+c) wedge 6| (a+b+c+d)[/latex] Jeżeli [latex]6 vert (a+b) wedge 6 vert (a+b+c),[/latex] to [latex]6vert c.[/latex] Przypuśćmy niewprost, że [latex]6 vert (a+b) wedge 6 vert (a+b+c),[/latex] ale [latex]6 otvert c,[/latex] wówczas [latex]a+b=6k[/latex] dla pewnego [latex]k in {1,2,ldots}[/latex] oraz [latex]a+b+c=6t[/latex] dla pewnego [latex]t in {1,2,ldots}.[/latex] Skoro [latex]a+b extless a+b+c,[/latex] to [latex]k extless t,[/latex] zatem [latex](t-k) in {1,2,ldots}.[/latex] Podstawiamy i dostajemy: [latex]a+b+c=(a+b)+c=6k+c=6t\ c=6t-6k=6(t-k) wedge 6 otvert c[/latex] sprzeczność. Analogicznie wykazujemy, że skoro [latex]6 vert (a+b+c) wedge 6 vert (a+b+c+d),[/latex] to [latex]6 vert d.[/latex] Liczby [latex]a,b[/latex] nie muszą być podzielne przez [latex]6.[/latex] Np. [latex]a=5,b=7[/latex] nie są podzielne przez [latex]6[/latex] a spełniają warunki zadania. Oczywiście przy założeniu, że liczby [latex]c,d[/latex] są podzielne przez [latex]6.[/latex] [latex] extbf{Zadanie, 2}\ a+ab+2ac=7\ acdot (1+b+2c)=7[/latex] Zauważmy, że [latex]7[/latex] jest liczbą pierwszą. W związku z tym w jej rozkładzie na czynniki mogą wystąpić jedynie liczby [latex]1[/latex] oraz [latex]7.[/latex] Przypuśćmy, że [latex]a=7,1+b+2c=1.[/latex] Wówczas [latex]b+2c=0wedge b extgreater 0 wedge c extgreater 0[/latex] dochodzimy do sprzeczności. Przypuśćmy teraz, że [latex]a=1,1+b+2c=7.[/latex] Wtedy [latex]b=6-2c wedge b,c in {1,2,ldots}.[/latex] Otrzymane równanie pod podanymi założeniami spełniają jedynie pary liczb [latex]b=4,c=1[/latex] oraz [latex]b=2,c=2.[/latex] Reasumując całe równanie spełniają wyłącznie uporządkowane trójki liczb: [latex]a=1,b=4,c=1[/latex] oraz [latex]a=1,b=2,c=2.[/latex] [latex] extbf{Zadanie,3}[/latex] Zaczniemy od wyznaczenia wszystkich takich liczb [latex]a in {1,2,ldots}[/latex] o tej własności, że [latex](a+1) vert [2(a+4)].[/latex] Skoro [latex]a in {1,2,ldots},[/latex] to [latex]a[/latex] jest liczbą nieparzystą albo parzystą. Rozważmy zatem przypadki: [latex]i),a-mbox{nieparzysta}\ ii),a-mbox{parzysta}[/latex] [latex]ad., i)[/latex] Niech [latex]a=1,[/latex] wówczas: [latex](1+1)vert [2(1+4)]\ 2vert 10 mapsto OK[/latex] Niech [latex]a=3,[/latex] wówczas: [latex](3+1)vert [2(3+4)]\ 4 otvert 14[/latex] Rozważmy teraz dowolną nieparzystą liczbę naturalną [latex]ageq 5.[/latex] Zbadajmy jej resztę z dzielenia przez [latex]4[/latex]: Wobec tego liczba [latex]a[/latex] spełnia warunek [latex]a=4k+1 vee a=4k+3[/latex] dla pewnego [latex]k in {1,2,ldots}.[/latex] Gdy podstawimy [latex]a=4k+1[/latex] dostaniemy: [latex](underbrace{4k+1}_{a}+1)vert [2(underbrace{4k+1}_{a}+4)]\ (4k+2)vert [2(4k+5)]\ 2(2k+1)vert [2(4k+5)]\ (2k+1)vert (4k+5)\ dfrac{4k+5}{2k+1}in {1,2,ldots}\ dfrac{2(2k+1)+3}{2k+1}in {1,2,ldots}\ 2+dfrac{3}{2k+1}in {1,2,ldots}\ dfrac{3}{2k+1}in {1,2,ldots}\ 2k+1=3\ k=1\ a=4cdot 1+1=4+1=5\ oxed{a=5}[/latex] Gdy podstawimy [latex]a=4k+3[/latex] dostaniemy: [latex](underbrace{4k+3}_{a}+1)vert [2(underbrace{4k+3}_{a}+4)]\ (4k+4)vert [2(4k+7)]\ 2(2k+2)vert [2(4k+7)]\ (2k+2)vert (4k+7)\ dfrac{4k+7}{2k+2} in {1,2, ldots}\ dfrac{2(2k+2)+3}{2k+2} in {1,2, ldots}\ 2+dfrac{3}{2k+2} in {1,2, ldots}\ dfrac{3}{2k+2} in {1,2, ldots}\ k in emptyset\ oxed{ain emptyset}[/latex] [latex]ad., ii)[/latex] [latex]a=2t[/latex] dla pewnego [latex]t in {1,2, ldots}.[/latex] Gdy podstawimy [latex]a=2t[/latex] dostaniemy: [latex](2t+1)vert [2(2t+4)]\ (2t+1)vert (4t+8)\ (2t+1)vert [4(t+2)][/latex] Zauważmy, że [latex]2t+1[/latex] jest liczbą nieparzystą, zatem w swoim rozkładzie (kanonicznym) na czynniki pierwsze nie zawiera liczby [latex]2,[/latex] zaś [latex]4=2^2,[/latex] to stąd wnosimy, że [latex](2t+1)vert (t+2).[/latex] Wobec tego: [latex]dfrac{t+2}{2t+1} in {1,2,ldots}\ t=1\ a=2cdot 1=2\ oxed{a=2}[/latex] W razie wątpliwości co do tego przypadku uprzejmie proszę posiłkować się wykresem z załącznika. Otrzymaliśmy liczby, które spełniają warunek postawiony w zadaniu. Są to [latex]1,2,5.[/latex] Pozostaje zauważyć, że: [latex]1cdot 2 cdot 5=10\ 1+2+5=8\ 10-8=2[/latex] Co należało wykazać.

Dodaj swoją odpowiedź