Matematyka
catherine00
2018-07-08 18:29:37
Obwód trójkąta równoramiennego ABC jest równy (20+10 √3 ) cm. Punkt P jest środkiem odcinka BC, a punkt R dzieli odcinek AB w stosunku 3:2. Oblicz pole trójkąta: A) PRB, B) ARC D) APC
Odpowiedź
bananowy
2018-07-08 21:33:04

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik Z treści zadania, wiemy, że obwód trójkąta równoramiennego wynosi: [latex]O_{Delta ABC} = (20 + 10 sqrt{3}) cm[/latex] Zatem ramiona mają długość: [latex]|AC| = |BC| = 10 cm = 2y o y = 5 cm, bo \\ 2y = 10 / : 2 \ y = 5[/latex] a podstawa ΔABC ma długość: [latex]|AB| = 10 sqrt{3} cm = 5x o x = 2 sqrt{3} cm, bo \\ 5x=10 sqrt{3} /: 5\ x = 2 sqrt{3}[/latex] Punkt P jest środkiem odcinka BC, więc [latex]|BP| = |CP| = y = 5 cm[/latex] Punkt R dzieli odcinek AB w stosunku 3:2, więc [latex]|AR| = 3x = 3 cdot 2 sqrt{3} = 6 sqrt{3} cm \ |BR| = 2x = 2 cdot 2 sqrt{3} = 4 sqrt{3} cm[/latex] Miary katów wynoszą: [latex]|angle C| = 120^o \ |angle A| = |angle B| = (180^o - 120^o) : 2 = 60^o : 2 = 30^o[/latex] Pola trójkątów obliczymy korzystając ze wzoru: [latex]P = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot sinalpha[/latex], gdzie a, b to długości dwóch boków trójkąta α to miara kata między bokami a i b A) Pole ΔPRB [latex]|BR| = 4 sqrt{3} cm; |BP| = 5 cm; |angle B| = 30^o \\ P_{Delta PRB} = frac{1}{2} cdot |BR| cdot |BP| cdot sin 30^o = frac{1}{2} cdot 4 sqrt{3} cdot 5 cdot frac{1}{2} =5 sqrt{3} cm^2[/latex] B) Pole ΔARC [latex]|AR| = 6 sqrt{3} cm; |AC| = 10 cm; |angle A| = 30^o \\ P_{Delta ARC} = frac{1}{2} cdot |AR| cdot |AC| cdot sin 30^o = frac{1}{2} cdot 6 sqrt{3} cdot 10 cdot frac{1}{2} =15 sqrt{3} cm^2[/latex] C) Pole ΔAPC [latex]|AC| = 10 cm; |CP| = 5 cm; |angle C| = 120^o \\ P_{Delta APC} = frac{1}{2} cdot |AC| cdot |CP| cdot sin 120^o = frac{1}{2} cdot 10 cdot 5 cdot sin (90^o+30^o) = \\ =25 cdot cos 30^o =25 cdot frac{ sqrt{3} }{2} =12,5 sqrt{3} cm^2[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź