Matematyka
artur188
2017-06-24 19:19:37
UDOWODNIJ NIERÓWNOŚĆ. Niech [latex]$mathcal{A}_n mathcal{G}_n mathcal{H}_n$[/latex] to odpowiednio średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna dodatnich liczb [latex]$x_1,x_2,...,x_n$[/latex]. Czy prawdą jest że: [latex]$ frac{mathcal{A}_n}{mathcal{G}_n}+frac{mathcal{G}_n}{mathcal{H}_n}+frac{mathcal{A}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{G}_n}+frac{1+mathcal{G}_n}{1+mathcal{H}_n}+ frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{H}_n} $[/latex]
Odpowiedź
Lesio92
2017-06-25 00:07:39

Od razu zaznaczę, że powołując się na nierówność między średnimi, zachodzi: [latex]$mathcal A_n geq mathcal G_n geq mathcal H_n$[/latex], gdzie: [latex]mathcal A_n - srednia arytmetyczna n liczb[/latex] [latex]mathcal G_n - srednia geometryczna n liczb[/latex] [latex]mathcal H_n - srednia harmoniczna n liczb[/latex] Mowa o tych samych liczbach [latex]x_1,x_2,...,x_n[/latex] Nierówność: [latex]$ frac{mathcal{A}_n}{mathcal{G}_n}+frac{mathcal{G}_n}{mathcal{H}_n}+frac{mathcal{A}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{G}_n}+frac{1+mathcal{G}_n}{1+mathcal{H}_n}+ frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{H}_n} $[/latex] Wykaże następujące: [latex]frac{mathcal{A}_n}{mathcal{G}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{G}_n}[/latex] Przemnażając mianowniki ( oczywiście są dodatnie ) otrzymujemy: [latex]mathcal A_n + mathcal G_n mathcal A_n geq mathcal G_n + mathcal A_n mathcal G_n[/latex] Co prowadzi do: [latex]mathcal A_n geq mathcal G_n[/latex] Dalej postępujemy analogicznie: [latex]frac{mathcal{A}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{H}_n}[/latex] Przemnażając mianowniki ( oczywiście są dodatnie ) otrzymujemy: [latex]mathcal A_n + mathcal H_n mathcal A_n geq mathcal H_n + mathcal A_n mathcal H_n[/latex] Co prowadzi do: [latex]mathcal A_n geq mathcal H_n[/latex] oraz: [latex]frac{mathcal{G}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{G}_n}{1+mathcal{H}_n}[/latex] Przemnażając mianowniki ( oczywiście są dodatnie ) otrzymujemy: [latex]mathcal G_n + mathcal H_n mathcal G_n geq mathcal H_n + mathcal G_n mathcal H_n[/latex] Co prowadzi do: [latex]mathcal G_n geq mathcal H_n[/latex] czyli zachodzą 3 nierownosci: [latex]frac{mathcal{A}_n}{mathcal{G}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{G}_n}[/latex] [latex]frac{mathcal{A}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{H}_n}[/latex] [latex]frac{mathcal{G}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{G}_n}{1+mathcal{H}_n}[/latex] Zatem zachodzi rownież nierównosc: [latex]$ frac{mathcal{A}_n}{mathcal{G}_n}+frac{mathcal{G}_n}{mathcal{H}_n}+frac{mathcal{A}_n}{mathcal{H}_n} geq frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{G}_n}+frac{1+mathcal{G}_n}{1+mathcal{H}_n}+ frac{1+mathcal{A}_n}{1+mathcal{H}_n} $[/latex] ckd

Dodaj swoją odpowiedź