Matematyka
szymek2113
2017-06-24 13:17:27
Druga część z zadań na dowodzenie , proszę o rozwiązanie :) 1) Pokaż , że : a) [latex] sqrt{3} [/latex] jest liczbą niewymierną b) [latex] sqrt{5} + sqrt{6} [/latex] jest liczbą niewymierną c) [latex] sqrt[3]{2} + sqrt[3]{3} [/latex] jest liczbą niewymierną d) Niech [latex]n geq 1[/latex] będzie liczbą naturalną. Udowodnij , że liczba [latex] sqrt{n} + sqrt{n+1} [/latex] jest niewymierna e) suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną
Odpowiedź
gabi000
2017-06-24 15:31:08

a) rozpatrzmy wielomian [latex]W(x)=x^2-3[/latex] jedynymi możliwymi wymiernymi pierwiastkami mogą być  [latex]{-1,1,-3,3}[/latex] (wynika to z tw o pierwiastkach wymiernych) ale łatwo sprawdzić że żaden z tych kandydatów nie jest miejscem zerowym [latex]W(x)[/latex] natomiast [latex]W( sqrt{3} )=0[/latex] wnioskiem jest że  [latex] sqrt{3} otinmathbb{Q} [/latex] b) na razie nie robię bo jeśli zrobię d) to b) będzie na pewno będzie prawdziwe...   c) Załóżmy nie wprost że [latex]mathbb{Q} i x= sqrt[3]{2} + sqrt[3]{3} [/latex] wtedy [latex]mathbb{Q} i x^3=2+3 sqrt[3]{4}cdot sqrt[3]{3}+3sqrt[3]{2}cdot sqrt[3]{9}+3=2+3x sqrt[3]{6}+3[/latex] a z pierwszego założenia wiemy że  [latex]$mathbb{Q} i frac{x^3-5}{3x}= sqrt[3]{6}$ [/latex]  No ale tak nie jest bo liczba [latex]$ sqrt[3]{6} $ [/latex] jest niewymierna by to pokazać wystarczy rozpatrzeć wielomian [latex]W(x)=x^3-6[/latex] który ma tylko jeden pierwiastek właśnie [latex]W( sqrt[3]{6} )[/latex] a nie znalazł się on w zbiorze kandydatów na możliwy pierwiastek wymierny [latex]{pm1,pm2pm3pm4}[/latex].     d) niech [latex]x= sqrt{n}+ sqrt{n+1} [/latex] wtedy [latex]x^2-2n-1=2 sqrt{n} sqrt{n+1} [/latex] a ponad to [latex](x^2-2n-1)^2-4n(n+1)=0[/latex] czyli rozpatrujemy wielomian [latex]W(x)=x^4-4nx^2-2x^2+1[/latex] którego jedynymi wymiernymi pierwiastkami mogą być  [latex]-1 [/latex] i [latex]1 [/latex]. Ale nie są bo [latex]W(pm 1)=-4n[/latex] ponad to [latex]n geq 1[/latex] ale za to  [latex]W( sqrt{n} + sqrt{n+1} )=0[/latex] wnioskiem jest że [latex] sqrt{n} + sqrt{n+1} otinmathbb{Q}[/latex] e) załóżmy nie wprost że suma liczby niewymiernej może być wymierna. Niech [latex]x otinmathbb{Q}[/latex] wtedy sumując go z jakąż liczbą wymierną dostajemy wymierną więc  [latex]$x+ frac{a}{b}= frac{c}{d} $[/latex]  czyli  [latex]$x=frac{c}{d}-frac{a}{b}= frac{cb-ad}{bd}inmathbb{Q}$[/latex]  A to jest sprzeczne z założeniem więc suma musi być niewymienna.  

Dodaj swoją odpowiedź