Matematyka
monika22sa
2017-06-24 08:44:07
Udowodnij że w zbiorze liczb naturalnych [latex]{1,2,3,...}[/latex] możliwe jest znalezienie dowolnie długiego podzbioru postaci [latex]{k,k+1,k+2,...}[/latex] niezawierającego liczb pierwszych.
Odpowiedź
grzes937
2017-06-24 08:55:59

Korzystam z przybliżenia liczby liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych {1,..,n}: p(n) ~= n / ln(n), co wynika (ponoć) z twierdzenia Gaussa. dla dowolnego d - długość podzbioru postaci {k,k+1,k+2,...} wybieram odpowiednio duże n_max ~= e^(2d) i rozważam zbiór {1,..., n_max } w tym zbiorze powinno być liczb pierwszych (według oszacowania): p(n_max) ~= e^(2d) / 2d = 1/2 * n_max / d tymczasem przedziałów długości d jest w tym zbiorze n_max / d, czyli więcej. Zatem niektóre przedziały muszą nie zawierać liczby pierwszej.

Dodaj swoją odpowiedź