Matematyka
angel123456
2017-06-22 13:54:47
MATEMATYKA. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE. SZKOŁA PONADGIMNAZJALNA. Boki trojkąta mają długość a, b, c. Udowodnij, że z odcinków o długościach 1/(a+b), 1/(b+c), 1/(a+c) można zbudować trójkąt.
Odpowiedź
DaMiaN1997wwe
2017-06-22 16:24:42

Załóżmy, bez ograniczenia ogólności, że: [latex]0c[/latex] [latex]b+cgeq{a+c}geq{a+b}[/latex] [latex]cfrac{1}{b+c}leqcfrac{1}{a+c}leqcfrac{1}{a+b}[/latex] Należy udowodnić, że [latex]cfrac{1}{b+c}+cfrac{1}{a+c}>cfrac{1}{a+b}[/latex] Załóżmy zatem przeciwnie, że [latex]cfrac{1}{b+c}+cfrac{1}{a+c}leqcfrac{1}{a+b}[/latex] [latex]cfrac{a+c+b+c}{(b+c)(a+c)}leqcfrac{1}{a+b}[/latex] [latex]cfrac{a+b+2c}{(b+c)(a+c)}-cfrac{1}{a+b}leq0[/latex] [latex]cfrac{(a+b+2c)(a+b)-(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}leq0[/latex] [latex]cfrac{a^2+b^2-c^2+ab+ac+bc}{(a+b)(b+c)(a+c)}leq0[/latex] Mianownik jest zawsze dodatni, bo iloczyn i suma liczb dodatnich są dodatnie. Zatem [latex]a^2+b^2-c^2+ab+ac+bcleq0[/latex] [latex]a^2+b^2+ab+ac+bcleq{c}^2[/latex] [latex]ableq acRightarrow a^2+b^2+2ab+bcleq c^2[/latex] [latex]bc>0Rightarrow[/latex] [latex]a^2+2ab+b^2leq{c}^2[/latex] [latex](a+b)^2leq{c}^2[/latex] [latex]a+bleq{c}[/latex] Ostatnia nierówność jest sprzeczna z założeniem, że z odcinków a, b, c można zbudować trójkąt. Zatem nasze założenie, że [latex]cfrac{1}{b+c}+cfrac{1}{a+c}leqcfrac{1}{a+b}[/latex] doprowadziło do sprzeczności. Wynika stąd, że [latex]cfrac{1}{b+c}+cfrac{1}{a+c}>cfrac{1}{a+b}[/latex] co kończy dowód.

Dodaj swoją odpowiedź