Matematyka
0lol0
2017-06-22 01:43:37
ZADANIE 2 Z ZAŁĄCZNIKA. Trygonometria. Szkoła ponadgimnazjalna. Udowodnij tożsamość.
Odpowiedź
magdazajac14
2017-06-22 07:38:44

Przekształcam najpierw lewą stronę, korzystając z zależności [latex]sin^2alpha=dfrac{1}{2}left(1-cos2alpha ight)[/latex]: [latex]L=(2sin^2alpha-1)(2sin^2eta-1)=(1-cos2alpha-1)(1-cos2eta-1)=\=cos2alphacdotcos2eta[/latex] Również korzystając z powyższego wzoru oraz z faktu, że [latex]cos^2alpha=dfrac{1}{2}(1+cos2alpha)[/latex] przekształcam prawą stronę: [latex]R=cos^2(alpha+eta)-sin^2(alpha-eta)=\=dfrac{1}{2}left[1+cos(2alpha+2eta)-1+cos(2alpha-2eta) ight]=\=dfrac{1}{2}left[cos(2alpha+2eta)+cos(2alpha-2eta) ight]=(*)[/latex] Teraz korzystając ze wzoru na sumę cosinusów [latex]cosalpha+coseta=2cosdfrac{alpha+eta}{2}cosdfrac{alpha-eta}{2}[/latex] otrzymuję: [latex](*)=dfrac{1}{2}left[2cos2alphacdotcos2eta ight]=cos2alphacdotcos2eta[/latex] A zatem obie strony są równe, czyli tożsamość jest prawdziwa.

Dodaj swoją odpowiedź