Matematyka
M99
2017-09-25 22:44:17
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n(n^4 -1) jest podzielna przez 6.
Odpowiedź
basus
2017-09-26 05:09:06

Założenia: [latex]n[/latex] dowolna liczba całkowita Teza: [latex]6vert (n(n^4-1))[/latex] Dowód: Ustalmy dowolna liczbę całkowitą [latex]n[/latex]. Zauważmy, że: [latex]n(n^4 -1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)[/latex] Co więcej, [latex](n-1)n(n+1)[/latex] jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, zatem jedna z nich jest liczbą podzielną przez [latex]3[/latex]. Jedna (lub dwie) z nich jest (są) liczbami parzystymi, zatem jest (są) podzielne przez [latex]2.[/latex] Wobec tego iloczyn [latex](n-1)n(n+1)[/latex] jest podzielny przez [latex]2cdot 3=6.[/latex] W takim razie tym bardziej iloczyn [latex](n-1)n(n+1)(n^2+1)=n(n^4-1)[/latex] jest podzielny przez [latex]6,[/latex] co kończy dowód.

Dodaj swoją odpowiedź