Matematyka
maratonczyk
2017-06-26 18:08:07
Przestrzeń [latex]L_p (Omega,xi)[/latex] funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, gdzie [latex]1leq p extless infty[/latex]. Niech [latex](Omega,xi)[/latex] będzie przestrzenią z miarą i niech p będzie ustaloną liczbą rzeczywistą z przedziału [latex][1,infty][/latex]. Mówimy, że funkcja mierzalna [latex]f:Omega o K[/latex] jest funkcją całkowalną z p-tą potęgą, jeżeli [latex]int_{Omega} |f|^p dxi extless infty.[/latex] Normę w przestrzeni [latex]L_p (Omega,xi)[/latex] określamy wzorem [latex]||[f]||=left(int_{Omega} |f|^p dxi ight)^{1/p}, qquad fin L_p (Omega,xi).[/latex] Treść zadania w załączniku.
Odpowiedź
BDL1627
2017-06-26 23:17:50

Rozwiązując zadanie tradycyjnie, najpierw zortonormalizujmy układ (f₁, f₂). Podobnie jak w poprzednim zadaniu najpierw przekształcamy (f₁, f₂) w układ ortogonalny (v₁, v₂). Przyjmujemy więc na początek, że: [latex]v_1(x)=f_1(x)\\oxed{v_1(x)=x}[/latex] Następnie wyznaczamy v₂ jako:  [latex]v_2(x)=f_2(x)- extbf{proj}_{v_1}f_2=f_2(x)-dfrac{langle f_2,v_1 angle}{langle v_1,v_1 angle}cdot v_1[/latex] Obliczmy więc potrzebne iloczyny skalarne: [latex]langle f_2,v_1 angle=intlimits_0^1x^2cdot x,dx=Big[dfrac{x^4}{4}Big]_0^1=dfrac{1}{4}\\\ langle v_1,v_1 angle=intlimits_0^1xcdot x,dx=Big[dfrac{x^3}{3}Big]_0^1=dfrac{1}{3}[/latex] Teraz podstawiamy otrzymane wartości do wcześniejszego wzoru i wyliczamy v₂. Będzie: [latex]v_2(x)=f_2(x)-dfrac{langle f_2,v_1 angle}{langle v_1,v_1 angle}cdot v_1=x^2-dfrac{frac{1}{4}}{frac{1}{3}}cdot x=x^2-dfrac{3}{4}x\\\oxed{v_2(x)=x^2-dfrac{3}{4}x}[/latex] Na koniec wystarczy jeszcze tylko podzielić v₁ oraz v₂ przez ich normy, aby otrzymać układ ortonormalny. Dostaniemy więc: [latex]||v_1||=sqrt{langle v_1,v_1 angle}=sqrt{dfrac{1}{3}}=dfrac{1}{sqrt{3}}\\\ ||v_2||=sqrt{langle v_2,v_2 angle}=sqrt{intlimits_0^1ig(v_2(x)ig)^2,dx}=sqrt{intlimits_0^1(x^2-frac{3}{4}x)^2,dx}=\\\= sqrt{intlimits_0^1ig(x^4-frac{3}{2}x^3+frac{9}{16}x^2ig),dx}=sqrt{Big[dfrac{x^5}{5}Big]_0^1-dfrac{3}{2}Big[dfrac{x^4}{4}Big]_0^1+dfrac{9}{16}Big[dfrac{x^3}{3}Big]_0^1}=\\\[/latex] [latex]=sqrt{dfrac{1}{5}-dfrac{3}{8}+dfrac{9}{48}}=sqrt{dfrac{48-90+45}{240}}=sqrt{dfrac{3}{240}}=sqrt{dfrac{1}{80}}=dfrac{1}{4sqrt{5}}[/latex] oraz: [latex]e_1=dfrac{v_1}{||v_1||}=dfrac{x}{frac{1}{sqrt{3}}}=sqrt{3}x\\\ e_2=dfrac{v_2}{||v_2||}=dfrac{x^2-frac{3}{4}x}{frac{1}{4sqrt{5}}}=4sqrt{5}x^2-3sqrt{5}x[/latex] Mając wyznaczoną ortonormalną bazę (e₁, e₂) podprzestrzeni M rzut ortogonalny f na tę podprzestrzeń wyraża się wzorem: [latex] extbf{proj}_Mf=langle f,e_1 anglecdot e_1+langle f,e_2 anglecdot e_2[/latex] Obliczamy więc oba potrzebne nam iloczyny skalarne i otrzymujemy: [latex]langle f,e_1 angle=intlimits_0^11cdotsqrt{3}x,dx=sqrt{3}Big[dfrac{x^2}{2}Big]_0^1=dfrac{sqrt{3}}{2} [/latex] [latex]langle f,e_2 angle=intlimits_0^11cdotig(4sqrt{5}x^2-3sqrt{5}xig),dx=4sqrt{5}Big[dfrac{x^3}{3}Big]_0^1-3sqrt{5}Big[dfrac{x^2}{2}Big]_0^1=\\\= dfrac{4sqrt{5}}{3}-dfrac{3sqrt{5}}{2}=dfrac{8-9}{6}sqrt{5}=-dfrac{sqrt{5}}{6}[/latex] Tak więc rzut ortogonalny funkcji f na podprzestrzeń M wyraża się następująco: [latex] extbf{proj}_Mf=langle f,e_1 anglecdot e_1+langle f,e_2 anglecdot e_2=\\\=dfrac{sqrt{3}}{2}cdotsqrt{3}x-dfrac{sqrt{5}}{6}cdot(4sqrt{5}x^2-3sqrt{5}x)=dfrac{3}{2}x-dfrac{10}{3}x^2+dfrac{5}{2}x=\\\ =oxed{4x-dfrac{10}{3}x^2}[/latex] No i na koniec odległość f od M. Odległość ta jest równa odległości f od jej rzutu ortogonalnego na M, tak więc: [latex]d(f,M)=d(f, extbf{proj}_Mf)=||f- extbf{proj}_Mf||=\\\=sqrt{intlimits_0^1left[1-(4x-frac{10}{3}x^2) ight]^2,dx}=sqrt{intlimits_0^1left[1-4x+frac{10}{3}x^2 ight]^2,dx}=\\\= sqrt{intlimits_0^1left(frac{100}{9}x^4+16x^2+1-8x-frac{80}{3}x^3+frac{20}{3}x^2 ight),dx}=\\\= sqrt{intlimits_0^1left(frac{100}{9}x^4-frac{80}{3}x^3+frac{68}{3}x^2-8x+1 ight),dx}=\\\[/latex] [latex]=sqrt{dfrac{100}{9}Big[dfrac{x^5}{5}Big]_0^1-dfrac{80}{3}Big[dfrac{x^4}{4}Big]_0^1+dfrac{68}{3}Big[dfrac{x^3}{3}Big]_0^1-8Big[dfrac{x^2}{2}Big]_0^1+Big[xBig]_0^1}=\\\= sqrt{dfrac{20}{9}-dfrac{20}{3}+dfrac{68}{9}-4+1}=sqrt{dfrac{20-60+68-36+9}{9}}=sqrt{dfrac{1}{9}}=oxed{dfrac{1}{3}}[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź